Аптымізацыя праектных рашэнняў

вытворчасць Аптымізацыя праектных рашэнняў

праглядаў - 186

Як ужо адзначалася, найважнейшай перадумовай аўтаматызацыі працэсу праектавання з'яўляецца магчымасць знаходжання аптымальнага варыянту тэхнічнай сістэмы. Тэхнічная сістэма адной структуры можа мець некалькі дапушчальных рашэнняў за кошт розных значэнняў яе параметраў. У гэтым выпадку магчымы такі набор значэнняў параметраў, які забяспечвае аптымальнае рашэнне. Працэс пошуку рашэння называюць параметрычнай аптымізацыяй. У далейшым пры разглядзе розных аспектаў працэсу аптымізацыі всœегда маецца на ўвазе Параметрычная аптымізацыя, а структура сістэмы лічыцца зададзенай. Выкарыстоўваючы параметрычных аптымізацыю, можна праводзіць ацэнку розных структур сістэмы, параўноўваючы паміж сабой іх аптымальныя варыянты. Сінтэз варыянтаў сістэмы ажыццяўляецца з дапамогай матэматычнай мадэлі, якая прадстаўляе сабой сукупнасць формул, якія дазваляюць вызначыць всœе цікавяць нас праектныя характарыстыкі тэхнічнай сістэмы. У агульным выпадку гэтая мадэль выглядае наступным чынам.

Маецца вектар X = (х 1, х 2, ..., хn) незалежных унутраных параметраў, значэння якіх адназначна вызначаюць всœе характарыстыкі вырабы, у тым ліку значэння целœевой функцыі F і функцый абмежаванняў R 1, R 2, ..., Rm . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, целœевая функцыя і функцыі абмежаванняў залежаць ад унутраных параметраў. Гэтая залежнасць у агульным выпадку нелинœейна. Незалежныя параметры - гэта звычайна памеры вырабы або характарыстыкі яго элементаў. Так, для шпиндельного вузла незалежнымі параметрамі бываюць дыяметры апорнай шыйкі, межопорной часткі, даўжыня кансолі, калянасць падшыпніка і т. Д.

У працэсе аптымізацыі частка незалежных унутраных параметраў падвяргаецца зменам у определœенных межах. Такія параметры называюць кіраванымі, а межы іх змен - параметрычных абмежаваннямі. Фармальная пастаноўка задачы параметрычнай аптымізацыі зводзіцца да знаходжання такіх значэнняў незалежных параметраў, пры якіх целœевая функцыя F = F (X) дасягае свайго мінімуму пры

xj ≥ 0, j = 1, 2, ...., n (1)

і

Ri (X) ≤ 0, i = 1,2, ..., m; m ≤ n, або m ≥ n. (2)

Да такой пастаноўцы можа быць прыведзена любая рэальная задача. Сапраўды, калі па сэнсе задачы патрабуецца максімізацыя целœевой функцыі, то, памнажаючы яе на мінус адзінку, атрымліваем патрабаваную форму.

Геаметрычная інтэрпрэтацыя пастаноўкі задачы аптымізацыі для выпадку двух незалежных зменных паказаная на мал. 3, дзе нанесеныя лініі пастаяннага ўзроўню целœевой функцыі F (х 1, х 2) і функцый абмежаванняў Ri (x 1, x 2), i = 1, 2, 3.

У кожнай кропцы адной такой лініі целœевая функцыя (функцыя абмежаванняў) мае адно і тое ж пастаяннае значэнне. Раўнаннем лініі пастаяннага ўзроўню з'яўляецца выраз

Мал. 3. Геаметрычная інтэрпрэтацыя задачы

аптымізацыі

F (x 1, x 2) = а [або Ri (x 1, х 2) = АI],

дзе, а = const. Задаючы розныя значэнні пастаяннай а, атрымаем сямейства ліній пастаяннага ўзроўню.

Ўмовы (1) і (2) вылучаюць вобласць D - вобласць дапушчальных рашэнняў. Мінімум целœевой функцыі ў дадзеным выпадку знаходзіцца на мяжы вобласці D у кропцы X * = (xi *, х 2 *). Такі мінімум прынята называць ўмоўным, а задача яго знаходжання - ўмоўнай аптымізацыяй, у адрозненне ад безумоўнай аптымізацыі, калі шукаецца мінімум целœевой функцыі ў адсутнасці функцый абмежаванняў. У тэхнічных задачах абмежаванні маюцца практычна всœегда.

Крытэрыі аптымальнасці. Пяройдзем цяпер да разгляду ключавога пытання рашэння задач аптымізацыі - выбару целœевой функцыі. Нагадаем, што мэтавая функцыя дазваляе атрымаць колькасную ацэнку якасці праектаванага вырабы. Такой ацэнкай, у рамках прынятай намі мадэлі, можа быць вектар выходных характарыстык

Y = (y 1, у 2, ..., ys),

які, як адзначалася, адназначна вызначаецца значэннямі незалежных параметраў xj.

Асобныя выхадныя характарыстыкі (дамовімся называць іх прыватнымі крытэрыямі) yk, k = 1, 2, ..., s - гэта, па сутнасці, тэхніка-эканамічныя паказчыкі вырабы. Да прыкладу, у дачыненні да станка гэта бываюць яго прадукцыйнасць, дакладнасць, матэрыялаёмістасць і т. П. Звычайна гранічна дапушчальныя значэння выходных характарыстык ўтрымліваюцца ў тэхнічным заданні на праектаванне. Абазначым гэтыя значэння праз yk т.з .. Тады выраз

yk - yk т.з ≤ 0 (3)

можна назваць умовай працаздольнасці.

Прыведзеная форма гэтай умовы можа быць рэалізавана для любых характарыстык, так як калі па сэнсе задачы патрабуецца адваротнае няроўнасць, яно можа быць заменена няроўнасцю віду (3), калі замест yk і yk т.з ўзяць іх зваротныя велічыні.

Ступень выканання патрабаванняў тэхнічнага задання можа быць ацэненая выразам

.

Крытэрыі Δ yk не супярэчаць прынятым умове мінімізацыі целœевой функцыі, а іх беспамерная форма дазваляе параўноўваць паміж сабой характарыстыкі рознай фізічнай прыроды. Асноўныя цяжкасці ў выкарыстанні крытэрыяў yk або Δ yk для ацэнкі праекта складаюцца ў тым, што гэтыя крытэрыі не з'яўляюцца незалежнымі, так як всœе яны - функцыі ўнутраных параметраў.

Сярод гэтых крытэраў всœегда знаходзяцца такія, паляпшэнне якіх прыводзіць да пагаршэння іншых. Такія крытэры называюцца канфліктнымі. Наяўнасць канфліктных крытэрыяў не дазваляе ставіць мэтай адначасовае паляпшэнне всœех выходных характарыстык вырабы, патрабуецца пошук кампраміснага рашэння. Адзначым, што такое рашэнне ў прынцыпе не можа быць фармалізавана, а, такім чынам, і аўтаматызавана, бо мэта - прэрагатыва чалавека і яго дзейнасці.

Задачы, у якіх якасць вырабы патрабуецца ацэньваць і паляпшаць па некалькіх характарыстыках адначасова, называюць задачамі многокритериальной аптымізацыі. Да гэтай катэгорыі ставяцца практычна всœе задачы, з якімі сутыкаецца канструктар-станкабудаўнікі. Разгледзім некаторыя падыходы да фарміравання целœевой функцыі ў многокритериальных задачах. Самым простым падыходам з'яўляецца такой, калі з набору прыватных крытэрыяў выбіраюць галоўны, які прымаюць у якасці целœевой функцыі. У гэтым выпадку аптымальнае рашэнне мае вялікі запас па абраным крытэру і поўная адсутнасць запасаў па астатніх. У станкабудаванні выкарыстанне прыватнага крытэра як целœевой функцыі можна рэкамендаваць толькі пры праектаванні унікальнага абсталявання, калі атрыманне патрабаванага якасці (напрыклад, Звышдакладны станок і т. П.) Акупляе амаль любыя выдаткі.

Найбольш распаўсюджаным падыходам у многокритериальных задачах з'яўляецца фарміраванне адытыўная крытэра. Целœевая функцыя ў гэтым выпадку мае выгляд

,

дзе Ck - так званыя вагавыя каэфіцыенты, якія вызначаюць ступень уплыву кожнага прыватнага крытэра на целœевую функцыю. Іх лікавыя значэнні знаходзяць з дапамогай экспертных ацэнак. звычайна мяркуюць

.

Асноўны недахоп адытыўная крытэра - адсутнасць аб'ектыўнай пэўнасці значэнняў вагавых каэфіцыентаў. У выпадку, калі пры праектаванні тэхнічнага аб'екта маецца магчымасць поўна і дакладна ацаніць зробленыя затраты, то іх таксама можна выкарыстоўваць у якасці целœевой функцыі. Больш за тое, можна сцвярджаць, што мінімізацыя выдаткаў - найлепшы падыход пры праектаванні, бо гэта адзіны спосаб атрымання «аб'ектыўнай» ацэнкі такога суб'ектыўнага паняцці як мэта. Тут неабходна падрабязна патлумачыць, што маецца на ўвазе пад поўным улікам выдаткаў. Лепш всœего гэта рабіць на канкрэтным прыкладзе. Дапусцім, мы праектуем станок, які павінен быць ўбудаваны ў аўтаматычную лінію, прызначаную для вырабу дэталяў аўтамабільнага рухавіка. Пры параўнанні розных варыянтаў праекта для поўнага ўліку выдаткаў вельмі важна, акрамя всœего іншага, ўлічыць прыведзеныя эксплуатацыйныя выдаткі ў аўтаматычнай лініі (яны істотна залежаць ад надзейнасці і рамонтапрыдатнасць канструкцыі), выдаткі на выраб рухавіка і ў перыяд эксплуатацыі аўтамабіля (на іх ўплывае ўзровень якасці вырабленых дэталяў). Як бачым, поўны ўлік выдаткаў - справа даволі складанае і ў цяперашні час мала распрацаванае. Гэтая акалічнасць з'яўляецца асноўным стрымліваючым фактарам ва ўжыванні вартаснага крытэра у аптымізацыйных задачах.

Заканчваючы на ​​гэтым разгляд пытання аб выбары целœевой функцыі, падкрэслім, што якасць аптымальнага рашэння цалкам залежыць ад таго, які крытэрый абраны для ацэнкі.

Мінімальнае значэнне целœевой функцыі можа быць знойдзена непасрэдна, калі яна выказана аналітычна.

Звычайна ў тэхнічных задачах аналітычныя выразы для целœевой функцыі і функцый абмежаванняў адсутнічаюць. Па гэтай прычыне мінімум целœевой функцыі вызначаюць, выкарыстоўваючы пошукавую аптымізацыю. Сутнасць гэтага працэсу складаецца ў тым, што вызначаюць паслядоўны шэраг кропак, якія ўтвараюць траекторыю ў прасторы незалежных параметраў, рухаючыся ўздоўж якой можна дасягнуць мінімуму целœевой функцыі. Пры гэтым у кожнай кропцы вылічаюць значэнне целœевой функцыі і правяраюць ўмовы спынення пошуку. Такой умовай можа быць, да прыкладу, нязначнае, у параўнанні з папярэднім крокам, памяншэнне целœевой функцыі.

Разгледзім некаторыя метады пошуку мінімуму целœевой функцыі. Большасць метадаў распрацавана для выпадкаў безумоўнай аптымізацыі, але іх можна ўжываць у задачах з абмежаваннямі, так як існуюць прыёмы звесткі задач ўмоўнай аптымізацыі да задач безумоўнай аптымізацыі. Істота метаду і яго назва вызначаюцца спосабам выбару напрамкі пошуку ў прасторы незалежных параметраў.

Самым простым метадам пошуку з'яўляецца метад поўнага перабору. Пры гэтым усю вобласць D разбіваюць на элементарныя подобластей, у кожнай з якіх вылічаюць целœевую функцыю. Параўноўваючы атрыманыя значэння паміж сабой, знаходзяць мінімум целœевой функцыі. Метад найбольш зручны для задач з невялікай колькасцю незалежных параметраў (тры-чатыры) і абмежаванымі дыяпазонамі іх зменаў.

Метад каардынатнага спуску мяркуе кірунак пошуку на чарговым кроку, супадальным з кірункам адной з каардынатных осœей. Іншымі словамі, мае месца паслядоўная аптымізацыя па кожнаму незалежнаму параметры. Да прыкладу, спачатку ажыццяўляецца рух у кірунку восі Х 1 да таго часу, пакуль целœевая функцыя памяншаецца. Калі такое памяншэнне спыняецца, пачынаюць рух у кірунку восі Х 2 і т. Д. Пасля заканчэння поўнага цыклу спускаў па напрамках всœех незалежных параметраў зноў вяртаюцца да кірунку Х 1 і рэалізуюць новы цыкл. Так працягваюць да таго часу, пакуль не знаходзяць мінімум целœевой функцыі. Траекторыя, адпаведная апісанаму алгарытме, паказаная на мал. 4 для выпадку двух незалежных зменных.

У наступных двух метадах - метадзе градыенту і метадзе найхутчэйшага спуску - пры выбары кірунку пошуку выкарыстоўваюць інфармацыю аб градыент целœевой функцыі. Так як кірунак градыенту вызначае напрамак найбольш хуткага ўзрастання целœевой функцыі, то целœесообразно пошук яе мінімуму вестак у антиградиентном кірунку. Пры гэтым метад градыенту прадугледжвае определœение гэтага напрамку ў кожнай кропцы траекторыі пошуку, а пры метадзе найхутчэйшага спуску рух у антиградиентном кірунку ажыццяўляецца да таго часу, пакуль адбываецца памяншэнне целœевой функцыі. На мал. 5 намаляваныя траекторыя 1 пошуку па метадзе градыенту і траекторыя 2 найхутчэйшага спуску. Параўноўваючы траекторыі 1 і 2, можна заключыць, што метад найхутчэйшага спуску патрабуе большай колькасці крокаў, але пры гэтым метадзе радзей вылічаецца градыент целœевой функцыі.

Звядзенне задач ўмоўнай аптымізацыі да безумоўнай можа быць, выканана, у прыватнасці, з дапамогай метаду штрафных функцый. Сутнасць метаду заключаецца ў замене целœевой функцыі F (X) зыходнай задачы на абагульнены крытэр, значэння якога супадаюць з F (X) усярэдзіне вобласці дапушчальных рашэнняў і рэзка ўзрастаюць па-за яе. У абагульнены крытэрый T (X, t) ўводзіцца каэфіцыент штрафу t.

Мінімум функцыі Т (X, t) імкнецца да мінімуму функцыі F (X) пры t → ∞. Для всœех X D можна абысціся без штрафных функцый, калі загадзя вядома, што мінімум ляжыць ўнутры вобласці D. Звычайна такая апрыёрная інфармацыя адсутнічае.

Метад выпадковага пошуку рэалізуе выбар напрамку пошуку на кожным кроку выпадковым чынам, да прыкладу, выкарыстоўваючы табліцы выпадковых лікаў. Так, з некаторай пункту Xk пераходзяць у кропку Xk +1, і калі пры гэтым аказваецца F (Xk + l) <F (Xk), то спроба лічыцца ўдалай і пошук працягваюць з кропкі Xk + l. У выпадку, калі F (Xk +1) ≥ F (Xk), то спроба лічыцца няўдалай, і з пункту знаходзяць новае выпадковае кірунак. Пошук спыняюць пасля L няўдалых спробаў. Колькасць спробаў L задаюць загадзя, яго значэнне вызначаюць з вопыту вырашэння падобных задач. Гэтаму метаду ўласцівы той недахоп, што кропкі, у якіх вылічаюцца значэння F (X), могуць размеркавацца нераўнамерна ў прасторы незалежных параметраў, з-за чаго определœенные вобласці гэтай прасторы апынуцца па-за аналізу.

Гэты недахоп адсутнічае ў метадзе линœейного праграмавання (ЛП-пошуку). Матэматычны апарат метаду забяспечвае фарміраванне вектараў X 1, Х 2, ..., хn у N кропках, раўнамерна размешчаных у прасторы незалежных параметраў. Іншым важным вартасцю гэтага метаду з'яўляецца выпрацаваная зручная форма аналізу комплексу прыватных крытэрыяў у выглядзе так званай табліцы выпрабаванняў. Пад выпрабаваннем тут разумеем определœение значэнняў параметраў і крытэрыяў у адной з N кропак. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, агульная колькасць выпрабаванняў роўна N, і для кожнага з іх вылічаюць значэнні всœех прыватных крытэрыяў. Кожнаму крытэру ў табліцы выпрабаванняў адведзена адна радок, у якой значэння гэтага крытэрыю размяшчаюць у парадку ўзрастання з указаннем нумара выпрабаванняў. Сума такіх радкоў па всœем прыватным крытэрам дазваляе аналізаваць комплекс гэтых крытэраў пры адсутнасці целœевой функцыі ў відавочным выглядзе, разгледзеўшы всœе магчымыя кампрамісы.

- Аптымізацыя праектных рашэнняў

Як ужо адзначалася, найважнейшай перадумовай аўтаматызацыі працэсу праектавання з'яўляецца магчымасць знаходжання аптымальнага варыянту тэхнічнай сістэмы. Тэхнічная сістэма адной структуры можа мець некалькі дапушчальных рашэнняў за кошт розных значэнняў яе ... [Чытаць подробенее]

- Аптымізацыя праектных рашэнняў

Як ужо адзначалася, найважнейшай перадумовай аўтаматызацыі працэсу праектавання з'яўляецца магчымасць знаходжання аптымальнага варыянту тэхнічнай сістэмы. Тэхнічная сістэма адной структуры можа мець некалькі дапушчальных рашэнняў за кошт розных значэнняў яе ... [Чытаць подробенее]