Optymalizacja rozwiązań projektowych

Produkcja Optymalizacja rozwiązań projektowych

poglądy - 186

Jak już wspomniano, najważniejszym warunkiem automatyzacji procesu projektowania jest możliwość znalezienia optymalnego wariantu systemu technicznego. System techniczny jednej konstrukcji może mieć kilka dopuszczalnych rozwiązań ze względu na różne wartości jego parametrów. W takim przypadku taki zestaw wartości parametrów jest możliwy, co zapewnia optymalne rozwiązanie. Proces poszukiwania rozwiązania nosi nazwę optymalizacji parametrycznej. W przyszłości, rozważając różne aspekty procesu optymalizacji, zawsze mamy na myśli optymalizację parametryczną i zakłada się, że struktura systemu jest podana. Korzystając z optymalizacji parametrycznej, można ocenić różne struktury systemu, porównując ze sobą ich optymalne warianty. Synteza wariantów systemu odbywa się za pomocą modelu matematycznego, który jest zbiorem formuł, które pozwalają nam określić wszystkie cechy projektowe systemu technicznego, który nas interesuje. Ogólnie model ten jest następujący.

Istnieje wektor X = ( x 1, x 2, ..., xn ) niezależnych parametrów wewnętrznych, których wartości jednoznacznie określają wszystkie cechy produktu, w tym wartości funkcji celu F i funkcji restrykcyjnych R 1, R 2, ..., Rm . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, funkcja docelowa i funkcje ograniczenia zależą od parametrów wewnętrznych. Ta zależność jest na ogół nieliniowa. Niezależnymi parametrami są zazwyczaj wymiary produktu lub charakterystyka jego elementów. Tak więc, dla zespołu wrzeciona, niezależnymi parametrami są średnice szyjki podpierającej, część podpierająca, długość wspornika, sztywność łożyska itp.

W procesie optymalizacji część niezależnych parametrów wewnętrznych podlega zmianom w pewnych granicach. Takie parametry są nazywane sterowanymi, a granice ich zmian nazywane są parametrycznymi ograniczeniami. Formalne sformułowanie problemu optymalizacji parametrycznej sprowadza się do znalezienia takich wartości niezależnych parametrów, przy których cała funkcja F = F ( X ) osiąga swoje minimum w

xj ≥ 0, j = 1, 2, ...., n (1)

i

Ri ( X ) ≤ 0, i = 1,2, ..., m ; m ≤ n lub m ≥ n . (2)

Takiemu preparatowi można dać jakikolwiek prawdziwy problem. Rzeczywiście, jeśli, zgodnie ze znaczeniem problemu, wymagana jest maksymalizacja całej funkcji, a następnie, mnożąc ją przez minus jeden, otrzymamy wymaganą formę.

Interpretację geometryczną sformułowania problemu optymalizacji dla przypadku dwóch zmiennych niezależnych pokazano na ryc. 3, gdzie są wykreślone linie stałego poziomu całej funkcji F ( x 1, x 2) i funkcje ograniczenia Ri ( x 1, x 2), i = 1, 2, 3.

W każdym punkcie jednej takiej linii cała funkcja (funkcja ograniczeń) ma tę samą stałą wartość. Równanie stałego poziomu jest wyrażeniem

Rys. 3. Geometryczna interpretacja problemu

optymalizacja

F ( x 1, x 2) = a [lub Ri ( x 1, x 2) = ai ],

gdzie, a = const. Ustawiając różne wartości stałej a , otrzymujemy rodzinę linii o stałym poziomie.

Warunki (1) i (2) odróżniają region D - region możliwych rozwiązań. W tym przypadku minimum funkcji celu znajduje się na granicy domeny D w punkcie X * = ( xi *, x 2 *). Takie minimum nazywane jest warunkowe, a zadaniem jego znalezienia jest optymalizacja warunkowa, w przeciwieństwie do bezwarunkowej optymalizacji, gdy poszukiwana jest minimum cała funkcja w przypadku braku funkcji ograniczających. W problemach technicznych istnieją prawie wszystkie ograniczenia.

Kryteria optymalności. Przejdziemy teraz do rozważenia kluczowej kwestii rozwiązywania problemów optymalizacyjnych - wyboru całej funkcji. Przypomnijmy, że funkcja celu pozwala nam uzyskać ilościową ocenę jakości projektowanego produktu. Taka ocena w ramach przyjętego przez nas modelu może być wektorem cech wyjściowych

Y = ( y 1, 2, ..., ys ),

który, jak wspomniano, jest jednoznacznie określony przez wartości parametrów niezależnych xj .

Oddzielne charakterystyki wyjściowe (nazwiemy je szczególnymi kryteriami) yk , k = 1, 2, ..., s są zasadniczo technicznymi i ekonomicznymi wskaźnikami produktu. Na przykład, w odniesieniu do maszyny, może to być jej wydajność, dokładność, zużycie materiału itp. Zazwyczaj maksymalne dopuszczalne wartości charakterystyk wyjściowych są zawarte w specyfikacji projektu. Oznacz te wartości przez yk tz .. Następnie wyrażenie

yk - yk t.z ≤ 0 (3)

można nazwać warunkiem pracy.

Zredukowana forma tego warunku może być zaimplementowana dla każdej charakterystyki, ponieważ gdy znaczenie problemu wymaga odwrotnej nierówności, można je zastąpić nierównością formy (3), jeśli zamiast yk i yk t.z przyjmują wzajemne wartości.

Stopień spełnienia wymagań specyfikacji technicznych można oszacować za pomocą wyrażenia

.

Kryteria Δyk nie są sprzeczne z przyjętym warunkiem minimalizacji całej funkcji celu, a ich bezwymiarowa forma pozwala na porównanie cech o różnej naturze fizycznej. Główne trudności w stosowaniu kryteriów yk lub Δyk do oceny projektu polegają na tym, że kryteria te nie są niezależne, ponieważ wszystkie są funkcjami parametrów wewnętrznych.

Wśród tych kryteriów zawsze są te, których poprawa prowadzi do pogorszenia innych. Takie kryteria nazywane są konfliktami. Obecność sprzecznych kryteriów nie pozwala nam dążyć do jednoczesnej poprawy wszystkich wyjściowych cech produktu, wymagane jest poszukiwanie rozwiązania kompromisowego. Należy zauważyć, że taka decyzja nie może w zasadzie być sformalizowana, a zatem nie może być zautomatyzowana, ponieważ celem jest przywilej osoby i jej działań.

Zadania, w których jakość produktu musi być oceniana i ulepszana za pomocą kilku cech jednocześnie, są nazywane zadaniami optymalizacji wielokryterialnej. Ta kategoria obejmuje prawie wszystkie zadania, przed którymi stoi producent obrabiarek. Rozważmy niektóre podejścia do tworzenia całej funkcji w zadaniach wielokryterialnych. Najprostszym podejściem jest wybór zestawu określonych kryteriów z głównego, który jest traktowany jako cała funkcja. W tym przypadku optymalne rozwiązanie ma duży zapas według wybranego kryterium i całkowity brak zapasów dla reszty. W przemyśle obrabiarek użycie określonego kryterium jako całości może być zalecane tylko przy projektowaniu unikalnego sprzętu, gdy uzyskanie wymaganej jakości (na przykład ultra-precyzyjnej maszyny itp.) Opłaca prawie wszelkie koszty.

Najczęstszym podejściem w problemach wielokryterialnych jest tworzenie kryterium addytywnego. W tym przypadku funkcją całkowitą jest

,

gdzie Ck - tak zwane współczynniki wagowe, które określają stopień wpływu każdego poszczególnego kryterium na całą funkcję. Ich wartości liczbowe można znaleźć za pomocą ekspertyz. Zazwyczaj wierzyłem

.

Główną wadą kryterium addytywnego jest brak obiektywnej wiarygodności wartości współczynników wagowych. Jeśli podczas projektowania obiektu technicznego możliwe jest pełne i wiarygodne oszacowanie poniesionych kosztów, wówczas mogą one być również wykorzystywane jako cała funkcja. Ponadto można argumentować, że minimalizacja kosztów jest najlepszym podejściem do projektowania, ponieważ jest to jedyny sposób na uzyskanie „obiektywnej” oceny takiej subiektywnej koncepcji jako celu. W tym miejscu konieczne jest szczegółowe wyjaśnienie, co oznacza pełna księgowość kosztów. Lepiej jest to zrobić za pomocą konkretnego przykładu. Załóżmy, że projektujemy maszynę, która musi być wbudowana w automatyczną linię zaprojektowaną do produkcji części do silników samochodowych. Porównując różne opcje projektowe w celu pełnego rozliczenia kosztów, niezwykle ważne jest między innymi uwzględnienie obniżonych kosztów operacyjnych w automatycznej linii (zasadniczo zależą one od niezawodności i łatwości utrzymania projektu), kosztu produkcji silnika i podczas eksploatacji pojazdu (na poziom jakości mają wpływ szczegóły). Jak widać, pełna kalkulacja kosztów jest sprawą dość skomplikowaną i obecnie mało rozwiniętą. Ta okoliczność jest głównym czynnikiem ograniczającym zastosowanie kryterium wartości w problemach optymalizacji.

Kończąc rozważanie wyboru całej funkcji, podkreślamy, że jakość optymalnego rozwiązania zależy całkowicie od tego, które kryterium zostanie wybrane do oceny.

Minimalną wartość całej funkcji można znaleźć bezpośrednio, jeśli jest wyrażona analitycznie.

Zazwyczaj w problemach technicznych nie ma wyrażeń analitycznych dla całej funkcji i funkcji ograniczających. Z tego powodu minimum całej funkcji określa się za pomocą optymalizacji pod kątem wyszukiwarek. Istotą tego procesu jest to, że określają one sekwencyjną serię punktów tworzących trajektorię w przestrzeni niezależnych parametrów, przesuwając się wzdłuż której można osiągnąć minimum całej funkcji. Jednocześnie obliczana jest wartość całej funkcji w każdym punkcie i sprawdzane są warunki zatrzymania wyszukiwania. Takim warunkiem może być na przykład niewielki spadek w porównaniu z poprzednim krokiem całej funkcji.

Rozważ niektóre metody znalezienia minimum całej funkcji. Większość metod jest przeznaczona do przypadków bezwarunkowej optymalizacji, ale mogą być one wykorzystywane w problemach z ograniczeniami, ponieważ istnieją techniki redukcji problemów optymalizacji warunkowej do problemów bezwarunkowej optymalizacji. Istota metody i jej nazwa są determinowane przez metodę wyboru kierunku wyszukiwania w przestrzeni niezależnych parametrów.

Najprostszą metodą wyszukiwania jest metoda brutalnej siły. Jednocześnie cały obszar D jest podzielony na podregiony elementarne, w których obliczana jest cała funkcja. Porównując uzyskane wartości, odnajdują minimum całej funkcji. Metoda ta jest najwygodniejsza dla zadań z niewielką liczbą niezależnych parametrów (trzy lub cztery) i ograniczonymi zakresami zmian.

Metoda zstępowania współrzędnych zakłada kierunek wyszukiwania w następnym kroku, który pokrywa się z kierunkiem jednej z osi współrzędnych. Innymi słowy, istnieje spójna optymalizacja dla każdego niezależnego parametru. Na przykład ruch w kierunku osi X 1 jest najpierw wykonywany, aż cała funkcja zmniejszy się. Gdy ten spadek się zatrzymuje, zaczynają poruszać się w kierunku osi X 2 itd. Po zakończeniu pełnego cyklu zejść w kierunkach wszystkich niezależnych parametrów, wracają do kierunku X 1 i realizują nowy cykl. Kontynuują tę drogę, dopóki nie znajdą minimum całej funkcji. Trajektoria odpowiadająca opisanemu algorytmowi jest pokazana na ryc. 4 dla przypadku dwóch zmiennych niezależnych.

W następujących dwóch metodach - metodzie gradientowej i najbardziej stromej metodzie zniżania - przy wyborze kierunku wyszukiwania wykorzystywane są informacje o gradiencie całej funkcji. Ponieważ kierunek gradientu określa kierunek najszybszego wzrostu całej funkcji, właściwe jest poszukiwanie jego minimum w kierunku przeciw gradientowym. W tym przypadku metoda gradientu umożliwia określenie tego kierunku w każdym punkcie trajektorii wyszukiwania, a przy najbardziej stromej metodzie zniżania ruch w kierunku przeciw gradientowym jest wykonywany tak długo, jak zmniejsza się funkcja celu. Na rys. 5 przedstawia trajektorię 1 wyszukiwania metodą gradientową i trajektorię 2 najszybszego zniżania. Porównując trajektorie 1 i 2, możemy stwierdzić, że metoda najbardziej stromego zniżania wymaga większej liczby kroków, ale przy tej metodzie gradient funkcji celu jest rzadziej obliczany.

Zmniejszenie problemów optymalizacji warunkowej do bezwarunkowej można przeprowadzić w szczególności za pomocą metody funkcji karnych. Istota metody polega na zastąpieniu całej funkcji F ( X ) pierwotnego problemu uogólnionym kryterium, którego wartości pokrywają się z F ( X ) wewnątrz regionu możliwych rozwiązań i gwałtownie rosną poza nim. Współczynnik kary t wprowadza się do uogólnionego kryterium T ( X , t ).

Minimalna funkcja T ( X , t ) dąży do minimum funkcji F ( X ) jako t → ∞. Dla wszystkich x D może obyć się bez funkcji karnych, jeżeli z góry wiadomo, że minimum leży w domenie D. Zwykle brakuje takich informacji a priori.

Metoda wyszukiwania losowego implementuje wybór kierunku wyszukiwania na każdym kroku w sposób losowy, na przykład przy użyciu tabel liczb losowych. Tak więc z jakiegoś punktu Xk przejdź do punktu Xk +1, a jeśli okaże się, że jest to F ( Xk + l) < F ( Xk ), próba zostanie uznana za udaną i wyszukiwanie będzie kontynuowane od punktu Xk + l. Jeśli F ( Xk + 1) ≥ F ( Xk ), próba jest uważana za nieudaną, a nowy losowy kierunek znajduje się z punktu. Wyszukiwanie zostaje zakończone po nieudanych próbach L. Liczba prób L jest ustawiana z góry, jej wartość jest określana na podstawie doświadczenia w rozwiązywaniu takich problemów. Ta metoda ma tę wadę, że punkty, w których obliczane są wartości F ( X ), mogą być rozłożone nierównomiernie w przestrzeni niezależnych parametrów, dzięki czemu pewne obszary tej przestrzeni będą poza analizą.

Ta wada nie występuje w metodzie programowania liniowego (wyszukiwanie LP). Aparat matematyczny metody zapewnia tworzenie wektorów X 1, X 2 , ..., XN w N punktach, równomiernie rozmieszczonych w przestrzeni niezależnych parametrów. Kolejną ważną zaletą tej metody jest opracowana wygodna forma analizy zestawu określonych kryteriów w postaci tzw. Tabeli testowej. Testem jest tutaj określenie wartości parametrów i kryteriów w jednym z N punktów. ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ całkowita liczba testów wynosi N, a dla każdego z nich obliczane są wartości wszystkich określonych kryteriów. Każde kryterium w tabeli testowej ma jeden wiersz, w którym wartości tego kryterium są ułożone w porządku rosnącym wraz z liczbą testów. Suma takich ciągów według wszystkich określonych kryteriów pozwala na analizę kompleksu tych kryteriów przy braku całej funkcji w wyraźnej formie, po rozważeniu wszystkich możliwych kompromisów.

- Optymalizacja rozwiązań projektowych

Jak już wspomniano, najważniejszym warunkiem automatyzacji procesu projektowania jest możliwość znalezienia optymalnego wariantu systemu technicznego. System techniczny jednej struktury może mieć kilka dopuszczalnych rozwiązań ze względu na różne wartości jego ... [czytaj więcej]

- Optymalizacja rozwiązań projektowych

Jak już wspomniano, najważniejszym warunkiem automatyzacji procesu projektowania jest możliwość znalezienia optymalnego wariantu systemu technicznego. System techniczny jednej struktury może mieć kilka dopuszczalnych rozwiązań ze względu na różne wartości jego ... [czytaj więcej]