Оптимізація проектних рішень

виробництво Оптимізація проектних рішень

переглядів - 186

Як уже зазначалося, найважливішою передумовою автоматизації процесу проектування є можливість знаходження оптимального варіанту технічної системи. Технічна система однієї структури може мати кілька допустимих рішень за рахунок різних значень її параметрів. В цьому випадку можливий такий набір значень параметрів, який забезпечує оптимальне рішення. Процес пошуку рішення називають параметричною оптимізацією. Надалі при розгляді різних аспектів процесу оптимізації всœегда мається на увазі параметрическая оптимізація, а структура системи вважається заданою. Використовуючи параметричну оптимізацію, можна проводити оцінку різних структур системи, порівнюючи між собою їх оптимальні варіанти. Синтез варіантів системи здійснюється за допомогою математичної моделі, що представляє собою сукупність формул, що дозволяють визначити всœе цікавлять нас проектні характеристики технічної системи. У загальному випадку ця модель виглядає наступним чином.

Є вектор X = (х 1, х 2, ..., хn) незалежних внутрішніх параметрів, значення яких однозначно визначають всœе характеристики вироби, в тому числі значення целœевой функції F і функцій обмежень R 1, R 2, ..., Rm . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, целœевая функція і функції обмежень залежать від внутрішніх параметрів. Ця залежність в загальному випадку нелінœейна. Незалежні параметри - це зазвичай розміри виробу або характеристики його елементів. Так, для шпиндельного вузла незалежними параметрами бувають діаметри опорної шийки, межопорного частини, довжина консолі, жорсткість підшипника і т. Д.

В процесі оптимізації частина незалежних внутрішніх параметрів піддається змінам в определœенних межах. Такі параметри називають керованими, а межі їх змін - параметричними обмеженнями. Формальна постановка задачі параметричної оптимізації зводиться до знаходження таких значень незалежних параметрів, при яких целœевая функція F = F (X) досягає свого мінімуму при

xj ≥ 0, j = 1, 2, ...., n (1)

і

Ri (X) ≤ 0, i = 1,2, ..., m; m ≤ n, або m ≥ n. (2)

До такої постановки може бути наведена будь-реальне завдання. Дійсно, якщо за змістом завдання потрібно максимізація целœевой функції, то, примножуючи її на мінус одиницю, отримуємо необхідну форму.

Геометрична інтерпретація постановки задачі оптимізації для випадку двох незалежних змінних показана на рис. 3, де нанесені лінії постійного рівня целœевой функції F (х 1, х 2) і функцій обмежень Ri (x 1, x 2), i = 1, 2, 3.

У кожній точці однієї такої лінії целœевая функція (функція обмежень) має одне й те саме постійне значення. Рівнянням лінії постійного рівня є вираз

Мал. 3. Геометрична інтерпретація задачі

оптимізації

F (x 1, x 2) = а [або Ri (x 1, х 2) = аi],

де, а = const. Ставлячи різні значення постійної а, отримаємо сімейство ліній постійного рівня.

Умови (1) і (2) виділяють область D - область допустимих рішень. Мінімум целœевой функції в даному випадку знаходиться на кордоні області D в точці X * = (хi *, х 2 *). Такий мінімум прийнято називати умовним, а завдання його знаходження - умовної оптимізацією, на відміну від безумовної оптимізації, коли шукається мінімум целœевой функції у відсутності функцій обмежень. У технічних завданнях обмеження є практично всœегда.

Критерії оптимальності. Перейдемо тепер до розгляду ключового питання вирішення завдань оптимізації - вибору целœевой функції. Нагадаємо, що цільова функція дозволяє отримати кількісну оцінку якості виробу. Такою оцінкою, в рамках прийнятої нами моделі, може бути вектор вихідних характеристик

Y = (y 1, у 2, ..., ys),

який, як зазначалося, однозначно визначається значеннями незалежних параметрів xj.

Окремі вихідні характеристики (домовимося називати їх приватними критеріями) yk, k = 1, 2, ..., s - це, по суті, техніко-економічні показники вироби. Наприклад, стосовно до верстата це бувають його продуктивність, точність, матеріаломісткість і т. П. Зазвичай гранично допустимі значення вихідних характеристик містяться в технічному завданні на проектування. Позначимо ці значення через yk т.з .. Тоді вираз

yk - yk т.з ≤ 0 (3)

можна назвати умовою працездатності.

Наведена форма цієї умови може бути реалізована для будь-яких характеристик, так як коли за змістом завдання потрібно зворотне нерівність, воно може бути замінено нерівністю виду (3), якщо замість yk і yk т.з взяти їх зворотні величини.

Ступінь виконання вимог технічного завдання може бути оцінена виразом

.

Критерії Δ yk не суперечать прийнятим умові мінімізації целœевой функції, а їх безрозмірна форма дозволяє порівнювати між собою характеристики різної фізичної природи. Основні труднощі у використанні критеріїв yk або Δ yk для оцінки проекту полягають у тому, що ці критерії не є незалежними, так як всœе вони - функції внутрішніх параметрів.

Серед цих критеріїв всœегда знаходяться такі, поліпшення яких призводить до погіршення інших. Такі критерії називаються конфліктними. Наявність конфліктних критеріїв не дозволяє ставити за мету одночасне покращання всœех вихідних характеристик виробу, потрібно шукати компромісного рішення. Відзначимо, що таке рішення в принципі не може бути формалізована, а, отже, і автоматизовано, так як мета - прерогатива людини і його діяльності.

Завдання, в яких якість виробу потрібно оцінювати і покращувати за кількома параметрами одночасно, називають завданнями багатокритеріальної оптимізації. До цієї категорії відносяться практично всœе завдання, з якими стикається конструктор-станкостроітель. Розглянемо деякі підходи до формування целœевой функції в багатокритеріальних задачах. Найпростішим підходом є такий, коли з набору приватних критеріїв вибирають головний, який приймають в якості целœевой функції. В цьому випадку оптимальне рішення має великий запас по обраному критерію і повна відсутність запасів по іншим. У верстатобудуванні використання приватного критерію як целœевой функції можна рекомендувати тільки при проектуванні унікального обладнання, коли отримання необхідної якості (наприклад, надточний верстат і т. П.) Окупає майже будь-які витрати.

Найбільш поширеним підходом в багатокритеріальних задачах є формування адитивної критерію. Целœевая функція в цьому випадку має вигляд

,

де Ck - так звані вагові коефіцієнти, що визначають ступінь впливу кожного окремого критерію на целœевую функцію. Їх чисельні значення знаходять за допомогою експертних оцінок. зазвичай вважають

.

Основний недолік адитивного критерію - відсутність об'єктивної достовірності значень вагових коефіцієнтів. У разі якщо при проектуванні технічного об'єкта є можливість повно і достовірно оцінити вироблені витрати, то їх також можна використовувати в якості целœевой функції. Більш того, можна стверджувати, що мінімізація витрат - найкращий підхід при проектуванні, так як це єдиний спосіб отримання «об'єктивної» оцінки такого суб'єктивного поняття як мета. Тут необхідно детально пояснити, що мається на увазі під повним урахуванням витрат. Краще всœего це робити на конкретному прикладі. Припустимо, ми проектуємо верстат, який повинен бути вбудований в автоматичну лінію, призначену для виготовлення деталей автомобільного двигуна. При порівнянні різних варіантів проекту для повного обліку витрат вкрай важливо, крім всœего іншого, врахувати наведені експлуатаційні витрати в автоматичній лінії (вони істотно залежать від надійності і ремонтопридатності конструкції), витрати на виготовлення двигуна і в період експлуатації автомобіля (на них впливає рівень якості виготовлених деталей). Як бачимо, повний облік витрат - справа досить складна і в даний час мало розроблене. Ця обставина є основним стримуючим фактором у застосуванні вартісного критерію в оптимізаційних задачах.

Закінчуючи на цьому розгляд питання про вибір целœевой функції, підкреслимо, що якість оптимального рішення цілком залежить від того, який критерій обраний для оцінки.

Мінімальне значення целœевой функції може бути знайдено безпосередньо, якщо вона виражена аналітично.

Зазвичай в технічних завданнях аналітичні вирази для целœевой функції і функцій обмежень відсутні. З цієї причини мінімум целœевой функції визначають, використовуючи пошукову оптимізацію. Суть цього процесу полягає в тому, що визначають послідовний ряд точок, що утворюють траєкторію в просторі незалежних параметрів, рухаючись вздовж якої можна досягти мінімуму целœевой функції. При цьому в кожній точці обчислюють значення целœевой функції і перевіряють умови припинення пошуку. Таким умовою може бути, наприклад, незначне, порівняно з попереднім кроком, зменшення целœевой функції.

Розглянемо деякі методи пошуку мінімуму целœевой функції. Більшість методів розроблено для випадків безумовної оптимізації, але їх можна застосовувати в задачах з обмеженнями, так як існують прийоми зведення задач умовної оптимізації до завдань безумовної оптимізації. Істота методу і його назва визначаються способом вибору напрямку пошуку в просторі незалежних параметрів.

Найпростішим методом пошуку є метод повного перебору. При цьому всю область D розбивають на елементарні підобласті, в кожній з яких обчислюють целœевую функцію. Порівнюючи отримані значення між собою, знаходять мінімум целœевой функції. Метод найбільш зручний для задач з невеликою кількістю незалежних параметрів (три-чотири) і обмеженими діапазонами їх змін.

Метод координатного спуску передбачає напрямок пошуку на черговому кроці, що збігається з напрямком однієї з координатних осœей. Іншими словами, має місце послідовна оптимізація по кожному незалежному параметру. Наприклад, спочатку здійснюється рух в напрямку осі Х 1 до тих пір, поки целœевая функція зменшується. Коли таке зменшення припиняється, починають рух в напрямку осі Х 2 і т. Д. Після закінчення повного циклу спусків за напрямками всœех незалежних параметрів знову повертаються до напрямку Х 1 і реалізують новий цикл. Так продовжують до тих пір, поки не знаходять мінімум целœевой функції. Траєкторія, відповідна описаним алгоритмом, показана на рис. 4 для випадку двох незалежних змінних.

У наступних двох методах - методі градієнта і методі найшвидшого спуску - при виборі напрямку пошуку використовують інформацію про градієнті целœевой функції. Так як напрямок градієнта визначає напрямок найбільш швидкого зростання целœевой функції, то целœесообразно пошук її мінімуму вести в антіградіентном напрямку. При цьому метод градієнта передбачає определœеніе цього напрямку в кожній точці траєкторії пошуку, а при методі найшвидшого спуску рух в антіградіентном напрямку здійснюється до тих пір, поки відбувається зменшення целœевой функції. На рис. 5 зображені траєкторія 1 пошуку по методу градієнта і траєкторія 2 найшвидшого спуску. Порівнюючи траєкторії 1 і 2, можна зробити висновок, що метод найшвидшого спуску вимагає більшого числа кроків, але при цьому методі рідше обчислюється градієнт целœевой функції.

Зведення задач умовної оптимізації до безумовної може бути, виконано, зокрема, за допомогою методу штрафних функцій. Суть методу полягає в заміні целœевой функції F (X) вихідної задачі на узагальнений критерій, значення якого збігаються з F (X) всередині області допустимих рішень і різко зростають поза нею. В узагальнений критерій T (X, t) вводиться коефіцієнт штрафу t.

Мінімум функції Т (X, t) прагне до мінімуму функції F (X) при t → ∞. Для всœех X D можна обійтися без штрафних функцій, якщо заздалегідь відомо, що мінімум лежить всередині області D. Зазвичай така апріорна інформація відсутня.

Метод випадкового пошуку реалізує вибір напрямку пошуку на кожному кроці випадковим чином, наприклад, використовуючи таблиці випадкових чисел. Так, з деякою точки Xk переходять в точку Xk +1, і якщо при цьому виявляється F (Xk + l) <F (Xk), то спроба вважається вдалою і пошук продовжують з точки Xk + l. У разі якщо F (Xk +1) ≥ F (Xk), то спроба вважається невдалою, і з точки знаходять нове випадкове напрям. Пошук припиняють після L невдалих спроб. Число спроб L задають заздалегідь, його значення визначають з досвіду вирішення подібних завдань. Цьому методу притаманний той недолік, що точки, в яких обчислюються значення F (X), можуть розподілитися нерівномірно в просторі незалежних параметрів, через що определœенние області цього простору виявляться поза аналізом.

Цей недолік відсутній у методі лінœейного програмування (ЛП-пошуку). Математичний апарат методу забезпечує формування векторів X 1, Х 2, ..., ХN в N точках, рівномірно розташованих в просторі незалежних параметрів. Іншим важливим достоїнством цього методу є вироблена зручна форма аналізу комплексу приватних критеріїв у вигляді так званої таблиці випробувань. Під випробуванням тут розуміємо определœеніе значень параметрів і критеріїв в одній з N точок. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, загальне число випробувань дорівнює N, і для кожного з них обчислюють значення всœех приватних критеріїв. Кожному критерію в таблиці випробувань відведений один рядок, в якій значення цього критерію розташовують в порядку зростання з зазначенням номера випробувань. Сума таких рядків по всœем приватним критеріям дозволяє аналізувати комплекс цих критеріїв при відсутності целœевой функції в явному вигляді, розглянувши всœе можливі компроміси.

- Оптимізація проектних рішень

Як уже зазначалося, найважливішою передумовою автоматизації процесу проектування є можливість знаходження оптимального варіанту технічної системи. Технічна система однієї структури може мати кілька допустимих рішень за рахунок різних значень її ... [Читати подробенее]

- Оптимізація проектних рішень

Як уже зазначалося, найважливішою передумовою автоматизації процесу проектування є можливість знаходження оптимального варіанту технічної системи. Технічна система однієї структури може мати кілька допустимих рішень за рахунок різних значень її ... [Читати подробенее]